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CLASES PARTICULARES

Introducción mecanica orbital

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Profesor particular David
PUBLICADO EL 06 DE FEBRERO DE 2020 POR DAVID / Etiquetas:

La gravedad es siempre el gran enemigo a vencer. Si alguna vez se preguntaron el interés de la NASA en colocar su base de lanzamientos en una zona azotada periódicamente por huracanes, la responsable es la distancia al eje de rotación de la Tierra. La fuerza de la gravedad disminuye según nos acercamos hacia el ecuador. La misma fuerza que provoca que un coche se salga en una curva, en este caso, nos ayuda a despegarnos del suelo.

Esto desafía a lo que nos enseñaron en clase de ciencias naturales, donde nos dijeron  que éramos atraídos con una aceleración de 9,8 m/s2, pero un sencillo experimento con un péndulo y un cronómetro puede sacaron de vuestro error. Por ejemplo, en Madrid la gravedad local está más próxima a los 9,6 m/s2. Y claro está, todo aquello que nos ahorre unas cuantas toneladas de combustible o aumente la carga útil resulta muy interesante. Lo malo es que las zonas cercanas al ecuador suelen sufrir de cierta inestabilidad política y como solución, se creó una empresa para realizar lanzamientos orbitales desde plataformas en el mar. Funcionó durante casi 20 años  pero las desavenencias del gran número de socios y la mala gestión llevó a la compañía a la bancarrota.

Y ahora que sabemos desde donde lanzar un satélite hay que ver donde ponerlo. Se considera órbita baja desde los 100 km de altura a los 2000 km, pero en la práctica se colocan por debajo de los 1000 km donde se encuentran los cinturones de Van Hallen, una zona de la magnetosfera donde se concentran las partículas cargadas. También existe una región más baja, a 450 km, de partículas cargadas que se conoce como la Anomalía del Atlántico Sur. Esta región se debe a la discrepancia que hay entre el centro geográfico de Tierra y el centro de su campo magnético. Hay que buscar una solución de compromiso entre el desgaste que provoca el rozamiento con las capas más externas de la atmosfera, la exosfera, y estas regiones de alta densidad de campos magnéticos y teniendo en cuenta que cuanto más alto más caro resulta el lanzamiento pero mejores servicios podrá ofrecernos nuestro satélite.

Para poner en órbita un satélite debemos darle una velocidad suficiente como para que la fuerza centrípeta iguale la fuerza de la gravedad y no necesite ningún tipo de aporte energético nuevo para mantener la órbita. Esta velocidad se encuentra entre los 7,79 km/s, velocidad mínima para la órbita y los 11,18 km/s que sería la velocidad de escape que alejaría el artefacto fuera del campo gravitatorio de la Tierra. Y en este punto es donde entran en juego los lanzadores orbitales multietapa, ya que estas velocidades varían con la altura. A parte de la ventaja de no trasladar peso muerto, las distintas etapas de un cohete se van desprendiendo a medida que alcanzan más altura. Es en la última etapa donde se da la velocidad necesaria para que el cuerpo permanezca en órbita y se convierta en un satélite o con más velocidad se trate de algún tipo de misión de exploración del espacio y el artefacto se aleje de la Tierra.

La resolución del movimiento de un cuerpo dentro un campo gravitatorio da como resultado la ecuación paramétrica siguiente

(Insertar amoecuacion1.png)

Esta ecuación es la típica de todas las cónicas. Variando e, la excentricidad, tenemos los distintos tipos. Con e igual a 0 es una circunferencia, si es menor que 1 es una elipse, si es igual a 1 es una parábola y si es mayor que 1 se trata de una hipérbola. El valor de h es el momento cinético específico. Tanto e como h son función de la velocidad. El valor de m es el Parámetro Gravitacional de las Masas Combinadas y simplemente es la suma de la masa de los dos cuerpos multiplicado por la constante de gravitación universal. Variando el ángulo q, conocido como anomalía verdadera, como resultado tenemos la distancia r entre el foco de la cónica, que es el origen del sistema de coordenadas y la posición de nuestro satélite. Como la idea es mantenerlo en una órbita alrededor de la Tierra nos centraremos sólo en las elipses y las circunferencias que se puede tratar como un caso particular de una elipse. Y ahora es cuando hay que definir una serie de puntos para determinar que forma y que posición ocupa esa elipse.

Se define el punto de periapsis como el punto de mínima distancia al foco y el punto de apoapsis como el de máxima distancia al foco. Esto son solo nombres, aplicables a todas las elipses, cada astro tiene un nombre especifico para sus puntos de máxima y mínima distancia. Como el valor del coseno solo puede variar entre 1 y -1 el de menor distancia corresponde con q  igual a 0º y para el de mayor distancia 180º. Al resolver la ecuación del movimiento y sacar la trayectoria se ha eliminado el tiempo para obtener una versión reconocible de una cónica, pero a diferencia del principio de incertidumbre de Heisenberg, si podemos saber donde está y a que velocidad se mueve nuestro satélite. Ventajas de la mecánica clásica respecto de la cuántica. Paradójicamente, como la velocidad en la trayectoria de una elipse no es constante, salvo en el caso de ser una circunferencia, el problema se complica un poco y hay que introducir una serie de conceptos que definirán y posicionaran la órbita.

 Tomaremos como punto de referencia el punto de periapsis, recuerde que el punto de origen de coordenadas es el foco que está en el centro de la Tierra.

Definimos la velocidad orbital media como

(Insertar amoecuacion2.png)

Siendo a el eje mayor de la elipse o la suma de la distancia máxima y mínima respecto del foco. Esta velocidad coincide con la velocidad angular instantánea, en el caso de una órbita circular, que permanecería constante.

Anomalía media definida como

(Insertar amoecuacion3.png)

Que sería el ángulo recorrido en la órbita durante un tiempo Dt si la órbita fuese circular y de radio el semieje mayor de la elipse, la mitad de a.

(Insertar imagen1amo.png)

Definimos el ángulo E, anomalía escentrica, como se indica en la figura. Despues de trabajar un poco con las áreas, de las relaciones trigonometricas que de esa greometría subyace y un par de integrales, obtenemos una ecuación que relaciona esos angulos

(Insertar amoecuacion4.png)

Y la que se conoce como ecuación de Kepler, que se expresa de la forma siguiente

(Insertar amoecuacion5.png)

En el caso de resolver el problema de dado el ángulo q encontrar el Dt, el método es directo y nos permite obtener un resultado. En el caso de saber el Dt tratamos de hallar q, la ecuación de Kepler se nos convierte en una ecuación trascendente que requiere de métodos numéricos para su resolución, no solo de algebra, y que tiene un cierto error.

Recapitulando, el parámetro a y e determinan el tamaño, forma y  tipo de órbita, w, el argumento del perigeo o de periapsis, nos orienta el eje mayor de la elipse en la misma dirección que el vector excentricidad, que apunta al perigeo. Y con un cuarto parámetro, ya sea q, Dt, E o M nos dirá cual es la posición del satélite.

Solo nos queda orientar el plano respecto a otro plano de referencia que en el caso de los planetas es el plano ecuatorial. La intersección de ambos planos nos da una recta que se llama línea de nodos. La órbita corta la línea de nodos en dos puntos. Donde la trayectoria asciende se trata del nodo ascendente y donde la trayectoria es descendente, nodo descendente.

Los elementos orbitales son el conjunto mínimo de datos que junto a la época, el tiempo inicial, nos permite estimar la posición del satélite y la órbita que describe.

(Insertar imagen2amo.png)

W: Ascensión recta del nodo ascendente, RAAN para los amigos, es el ángulo medido en sentido contrario de las agujas del reloj entre la línea que forma el nodo ascendente y el radio terrestre con el punto vernal. El punto vernal es un punto de referencia de la esfera celeste que resulta de la intersección del plano que describe la órbita de la Tierra con el plano ecuatorial terrestre en el equinoccio de primavera.

w: Argumento de periapsis o del perigeo, es el ángulo medido en el plano orbital y en la dirección del movimiento entre la línea de nodos y el vector excentricidad. Posiciona el eje mayor como ya dijimos.

i: Inclinación de la órbita, es el ángulo entre el plano orbital y el plano ecuatorial. Toma valores entre 0 y 180 grados.

a y e ya lo tratamos anteriormente.

q: Nos determina con el ángulo la posición del satélite para la época en la órbita.

La presentación de estos datos se da en dos formatos, el primero es el de la NASA/NORAD y consta de 2 líneas como sigue

(Insertar 2line.gif)

En la primera línea viene el número del satélite, la U significa sin clasificación, los siguientes la designación internacional, después  la época, mostrando el año de lanzamiento, ese 86, y la fracción de días en formato decimal. Sigue con la derivada de la velocidad media dividido 2 y con la derivada segunda entre 6, normalmente se le da el valor 0. Continua con el coeficiente balístico, que está relacionado con la resistencia que ejerce las capas externas de la atmosfera y el satélite, la interferencia con el campo gravitatorio de un tercer cuerpo como la luna y la presión ejercida por la radiación solar que interviene en un modelo de propagación orbital llamado SGP4, pero eso es otra historia.

En la segunda, i, W, e asumiendo un punto decimal delante de los números, w, M, n que es el número de órbitas que completa en un solo día y continua con el número de órbitas completadas a lo largo de la vida útil del artefacto. Por último tenemos un número de verificación.

Con el tiempo, la solución que da los propagadores orbitales se degrada, por eso se realizan observaciones para actualizar los datos periódicamente.

El otro método de codificación de los datos orbitales es el usado por la AMSAT. Más intuitivo pero que aún así, muchos programas lo reconocen. Tienen esta pinta

                       Satellite: AO-07                       Catalog number: 07530                       Epoch time:      16273.53414553                       Element set:     999                       Inclination:      101.5885 deg                       RA of node:       241.7982 deg                       Eccentricity:    0.0012355                       Arg of perigee:   106.9114 deg                       Mean anomaly:      14.5617 deg                       Mean motion:   12.53623341 rev/day                       Decay rate:       -4.1e-07 rev/day^2                       Epoch rev:           91619                       Checksum:              294

 

Formados por elementos ya mencionados, donde la época esta expresada por los días totales que lleva en órbita y cuyo único elemento nuevo es la tasa de deterioro orbital. Tiene forma de aceleración angular, al ser negativo de decelación angular. Al reducir la velocidad de giro, la nueva posición de equilibrio tiene una altura menor respecto a la inicial. El satélite irá descendiendo atraído por la gravedad terrestre, provocando la reentrada en la atmosfera y un espectáculo de luces muy caro que alguien podría disfrutar.

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